Semigruppi di transizione associati a equazioni stocastiche non lineari

The main topic of this thesis is the study of transition semigroups of a class of nonlinear stochastic equations in a infinite dimensional separable Hilbert space. More precisely, we consider transition semigroups associated to the generalized mild solution of stochastic Kolmogorov equations with initial datum in an infinite dimensional separable Hilbert space H and with the drift perturbed by a nonlinear function defined on a subset of H. The theory of transition semigroups associated to such stochastic differential equations was developed starting from 1980s, an account of this theory is presented in three books by G. Da Prato and J. Zabczyk. In the first chapter of this thesis we recall some preliminaries about functional analysis, infinite dimensional analysis, probability, semigroup theory, Wiener, Ornstein-Uhlenbeck and Markovian processes necessary to define the framework in which we work. In chapter two we define the stochastic differential equation and its associated transition semigroup, which are the main objects studied in this thesis. Under rather general conditions, we study the existence and uniqueness of the generalized mild solution of the stochastic differential equation. In chapter three we discuss some smoothing properties of the semigroup. In chapter four we prove a logarithmic Harnack inequality and some of its consequences. In chapter five we show existence and uniqueness of a probability invariant measure m for the transition semigroup. We also show that the transition semigroup is uniquely extendable to a strongly continuous semigroup in the space L^p(H,m), whose infinitesimal generator A is the closure, in this space, of a perturbed Ornstein-Uhlenbeck type operator. In chapter six we study the Sobolev regularity of the solutions of the resolvent equation for A, we prove some logarithmic Sobolev and Poincaré inequalities, and a hypercontractivity result for the transition semigroup. In chapter seven we consider stazionary and evolution equations in an open set O of H, defining the stopped semigroup or Dirichlet semigroup associated to it, and studying the infinitesimal generator of such semigroup in the space L^2(O,m).

L’argomento principale di questa tesi è lo studio di semigruppi di transizione di una classe di equazioni differenziali stocastiche non lineari in spazi di Hilbert separabili e di dimensione finita. Più precisamente consideriamo semigruppi di transizione associati alla soluzione mild generalizzata di equazioni di Kolmogorov stocastiche con dato inziale in uno spazio di Hilbert H separabile di dimensione infinita e con drift perturbato da una funzione non lineare definita su un sottoinsieme aperto di H. La teoria dei semigruppi di transizione associati a queste equazioni differenziali stocastiche si è sviluppata a partire dagli anni ottanta ed è esposta in tre libri di G. Da Prato e J. Zabczyk. Nel primo capitolo di questa tesi richiamiamo preliminari di analisi funzionale, analisi infinito dimensionale, probabilità, teoria dei semigruppi, processi Markoviani di Wiener e di Ornstein-Uhlenbeck necessari per definire il contesto in cui lavoreremo. Nel capitolo due definiamo l’equazione differenziale stocastica e il semigruppo di transizione a lei associato che sono i due principali protagonisti di questa tesi. In condizioni molto generali, studiamo l’esistenza e l’unicità della soluzione mild generalizzata dell’equazione differenziale stocastica. Nel capitolo tre trattiamo alcune proprietà di regolarizzazione del semigruppo. Nel capitolo quattro dimostriamo una disuguaglianza logaritmica di Harnack e alcune sue conseguenze. Nel capitolo cinque mostriamo l’esistenza e l’unicità di una misura invariante di probabilità m per il semigruppo di transizione. Inoltre dimostriamo che il semigruppo di transizione è unicamente estendibile ad un semigruppo fortemente continuo nello spazio L^p(H,m), e che il suo generatore infinitesimale A è la chiusura di un operatore di tipo Ornstein-Uhlenbeck perturbato. Nel capitolo 6 studiamo la regolarità di Sobolev delle soluzioni dell’equazione del risolvente di A, dimostriamo alcune disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e di Poincaré e un risultato di ipercontrattività per il semigruppo. Nel capitolo sette consideriamo sia problemi stazionari che di evoluzione in un aperto O di H, definendo il corrispondente semigruppo arrestato o semigruppo di Dirichlet, e studiamo il generatore infinitesimale nello spazio L^2(H,m).