Geometria su campi finiti e applicazioni

This PhD dissertation focuses on particular problems in classical finite geometry, blocking sets and combinatorics. More precisely, there are three parts that are intertwined by the theory they rely on. The first part is the investigation and construction of hemysistems of the Hermitian surface. These geometrical structures are very rare and just a few examples are known. The techniques used to reach our contribution are based on the Natural Embedding Theorem (NET) of algebraic maximal curves on the Hermitian surface. The second part is the investigation of a certain blocking set of the finite plane. The third part is the investigation of polynomials and rational functions which permute the finite field of q elements and the finite projective space of dimension one respectively. Again, techniques to be used will be of algebraic nature, involving the theory of algebraic curves defined over a finite field and Hasse-Weil type theorems.

Questa tesi di dottorato si concentra su problemi particolari della geometria classica finita, di blocking sets e di combinatoria. Più precisamente, ci sono tre parti collegate dalla teoria su cui si basano. La prima parte è lo studio e la costruzione di emistemi della superficie Hermitiana. Queste strutture geometriche sono molto rare e se ne conoscono pochi esempi. Le tecniche utilizzate per raggiungere il nostro contributo si basano sul Natural Embedding Theorem (NET) delle curve algebriche massimali sulla superficie Hermitiana. La seconda parte è l'indagine di un certo blocking set del piano finito. La terza parte è lo studio dei polinomi e delle funzioni razionali che permutano rispettivamente il campo finito di q elementi e lo spazio proiettivo finito di dimensione uno. Anche in questo caso, le tecniche da utilizzare saranno di natura algebrica, coinvolgendo la teoria delle curve algebriche definite su un campo finito e teoremi di tipo Hasse-Weil.