Sull'equazione di Kolmogorov: teoria della regolarità ed applicazioni

The Kolmogorov equation was firstly introduced in 1934 as a fundamental ingredient of a kinetic model for the study of the density of a system of N particles of gas in the phase space. Kolmogorov pointed out that, although the dimension of the phase space is 2N and the diffusion term acts on the velocity variable, whose dimension is N, the differential operator is strongly degenerate. Nevertheless, Kolmogorov exhibited the explicit expression of the fundamental solution of the operator and pointed out that it is a smooth function, in fact proving that the operator is hypoelliptic. Throughout this work, we are mainly concerned with degenerate Kolmogorov equations in divergence form, for which the regularity theory for classical solutions had widely been developed during the years. Chapter 1 of this work is devoted to a survey of results on the classical regularity theory for Kolmogorov operators with constant or continuous coefficients, which can nowadays be considered complete. In Chapter 2 we consider an application of the Kolmogorov equation in finance, where the Black and Scholes theory is applied to the pricing problem for Asian options. The price of the option is computed by solving a Cauchy problem, where the initial data represents the payoff of the option and the associated PDE is a Kolmogorov type equation with local Hölder continuous coefficients. The existence and uniqueness of the fundamental solution of the associated PDO are proved, alongside with a uniqueness result for the solution of the Cauchy problem, through a limiting procedure whose convergence is ensured by Schauder type estimates. Furthermore, in Chapter 3 we consider an application of the Kolmogorov equation to the kinetic theory. Specifically, we introduce a space inhomogeneous kinetic model associated to a nonlinear Kolmogorov-Fokker-Planck (KFP) operator and we investigate the classical theory for the associated Cauchy problem. The second part of my thesis is devoted to the regularity theory for weak solutions to the Kolmogorov equation with measurable coefficients, which is nowadays the main focus of the research community. It has been developed during the last decade, and the most advanced achievements in this framework have been established in the particular case of the KFP equation. In Chapter 4 we give proof of a geometric statement for the Harnack inequality for weak solutions to the KFP equation proved by Golse, Imbert, Mouhot and Vasseur in 2017, based on the concepts of Harnack chains and attainable set. As far as we are concerned with the more general Kolmogorov equation in divergence form, Chapter 5 is devoted to the extension of the Moser’s iterative procedure for weak solutions to the Kolmogorov equation under minimal integrability assumptions for the lower order coefficients in the non dilation invariant case.

L’equazione di Kolmogorov è stata introdotta nel 1934 come ingrediente fondamentale di un modello cinetico per lo studio della densità di un sistema di N particelle di gas nello spazio delle fasi. Kolmogorov osservò che tale operatore è fortemente degenere in quanto la dimensione dello spazio delle fasi è 2N, mentre il termine di diffusione agisce sulla variabile velocità di dimensione N. Nonostante ciò, egli fornì l’espressione esplicita della soluzione fondamentale per tale operatore, una funzione differenziabile infinite volte, così dimostrando che l’operatore è ipoellittico. Nella mia tesi mi occupo prevalentemente di equazioni di Kolmogorov degeneri in forma di divergenza, per le quali la teoria della regolarità classica è stata ampiamente sviluppata nel corso degli anni e viene ad oggi considerata completa. Nel Capitolo 1 presento i principali risultati di tale teoria per operatori di Kolmogorov a coefficienti costanti o continui. Nel Capitolo 2 considero un’applicazione dell’equazione di Kolmgorov in ambito finanziario, dove la teoria di Black & Scholes si applica al pricing problem per le opzioni Asiatiche. Il prezzo di un’opzione si calcola risolvendo un problema di Cauchy, il cui dato iniziale rappresenta il payoff dell’opzione e la EDP associata è un’equazione di tipo Kolmogorov a coefficienti localmente Hölderiani. Attraverso una procedura di limite, la cui convergenza è assicurata da stime di tipo Schauder, si dimostrano l’esistenza e l’unicità della soluzione per l’ODP associato ed un risultato di unicità per la soluzione del problema di Cauchy. Nel Capitolo 3 considero un’ulteriore applicazione dell’equazione di Kolmogorov alla teoria cinetica. In particolare, introduco un modello cinetico non omogeneo associato ad un operatore non lineare di tipo Kolmogorov-Fokker-Planck (KFP) e studio la teoria della regolarità classica per il problema di Cauchy associato. La seconda parte della mia tesi è dedicata alla teoria della regolarità per soluzioni deboli dell’equazione di Kolmogorov a coefficienti misurabili, argomento su cui è prevalentemente concentrata la comunità scientifica oggigiorno. Gli sviluppi più recenti in questa direzione sono stati ottenuti nel caso particolare dell'equazione di KFP. Nel Capitolo 4 dimostro un enunciato di tipo geometrico per la disuguaglianza di Harnack provata da Golse, Imbert, Mouhot e Vasseur nel 2017 per le soluzioni deboli dell’equazione di KFP a coefficienti misurabili, basandomi sul concetto di catene di Harnack e insieme ammissibile. Per quanto riguarda invece l’equazione di Kolmogorov in forma di divergenza nella sua forma più generale, il Capitolo 5 è dedicato all’estensione dell’iterazione di Moser alle soluzioni deboli per l’equazione di Kolmogorov sotto ipotesi minimali di integrabilità per i coefficienti di ordine inferiore nel caso non invariante per dilatazioni.