Nuove prospettive in modelli di transizione di fase

Phase transitions occur in many relevant processes in physics, natural sciences, and engineering: almost every industrial product involves solidification at some stage. Examples include metal casting, steel annealing, crystal growth, thermal welding, freezing of soil, freezing and melting of the earth surface water, food conservation, and others. All of these processes are characterized by two basic phenomena: heat-diffusion and exchange of latent heat of phase transition. In this thesis, which consists of four distinct parts, we deal with phase transitions from different points of view. The first part, titled "Control and controllability of PDEs with hysteresis with an application in phase transition modeling", is a bridge between controllability of PDEs with hysteresis and phase transitions. Indeed, thanks to the special link between hysteresis operators and phase transitions, the controllability results that we prove can be applied to the so-called relaxed Stefan problem. This is an example of a basic model of phase transition, since it simply accounts for heat-diffusion and exchange of latent heat. More complicated models, which take into account also the mechanical aspects of the process, are considered in the second and in the third part. More precisely in the second part, titled "A viscoelastoplastic porous medium problem with phase transition", we derive and investigate a model for filtration in porous media which takes into account the effects of freezing and melting of water in the pores. The third part, whose title is "Fatigue and phase transition in an oscillating elastoplastic beam", is devoted to the derivation and the study of a model describing fatigue accumulation in an oscillating beam under the hypothesis that the material can partially recover by the effect of melting. Finally, in the fourth part, titled "Regularity for double-phase variational problems", we address the problem of the higher differentiability of solutions to the obstacle problem. In particular we deal with the case of non-standard growth conditions, which includes the so-called double-phase functionals. Such functionals describe the behavior of strongly anisotropic materials whose hardening properties drastically change with the point, hence they exhibit the most dramatic phase transition. The techniques here employed are different from those used in the rest of the thesis, since they rely on the direct methods pertaining to the regularity theory in the field of Calculus of Variations.

Le transizioni di fase si verificano in molti processi importanti in fisica, scienze naturali e ingegneria: quasi tutti i prodotti industriali prevedono la solidificazione. Fra gli esempi ci sono la fusione del metallo, la ricottura dell'acciaio, la crescita dei cristalli, la saldatura termica, il congelamento del suolo, il congelamento e lo scioglimento dell'acqua sulla superficie terrestre, la conservazione del cibo e altri. Tutti questi processi sono caratterizzati da due fenomeni fondamentali: diffusione del calore e scambio di calore latente di transizione di fase. In questa tesi, che si articola in quattro parti distinte, si trattano le transizioni di fase da diversi punti di vista. La prima parte, intitolata "Controllo e controllabilità delle EDP con isteresi con un'applicazione nella modellazione delle transizioni di fase", è un ponte tra la controllabilità delle EDP con isteresi e le transizioni di fase. Infatti, grazie allo speciale legame tra operatori di isteresi e transizioni di fase, i risultati di controllabilità che dimostriamo possono essere applicati al cosiddetto problema di Stefan con rilassamento. Questo è un esempio di un modello base di transizione di fase, poiché tiene semplicemente conto della diffusione del calore e dello scambio di calore latente. Nella seconda e nella terza parte vengono considerati modelli più complicati, che tengono conto anche degli aspetti meccanici del processo. Più precisamente nella seconda parte, intitolata "Un problema di mezzo poroso viscoelastoplastico con transizione di fase", si ricava e si studia un modello per la filtrazione in mezzi porosi che tiene conto degli effetti del congelamento e dello scioglimento dell'acqua nei pori. La terza parte, il cui titolo è "Fatica e transizione di fase in una trave elastoplastica oscillante", è dedicata alla derivazione e allo studio di un modello che descrive l'accumulo di fatica in una trave oscillante nell'ipotesi che il materiale possa recuperare parzialmente per effetto di fusione. Infine, nella quarta parte, intitolata "Regolarità per problemi variazionali in doppia fase", si affronta il problema della maggiore differenziabilità delle soluzioni del problema dell'ostacolo. In particolare si tratta del caso di condizioni di crescita non standard, che include i cosiddetti funzionali a doppia fase. Tali funzionali descrivono il comportamento di materiali fortemente anisotropi le cui proprietà di indurimento cambiano drasticamente con il punto, quindi mostrano la transizione di fase più drastica. Le tecniche qui impiegate sono diverse da quelle usate nel resto della tesi, poiché si basano sui metodi diretti appartenenti alla teoria della regolarità nel campo del Calcolo delle Variazioni.