Studio degli effetti giroscopici agenti su rotori sottoposti ad eccitazione parametrica periodica

The dynamic analysis of torque-transmitting flexible rotors is a research subject of great interest in mechanics of machines, presently encouraged by a general increasing trend towards high speed rotating equipment in conjunction with higher power density. The effects of axial end thrust and twisting moment, representing common loading conditions in engineering applications, have long been investigated restricting the attention to the time-invariant problem. More recently, however, also oscillating load components have been considered, and studied as causes of parametrical excitation in rotor dynamics. The induced effects are potentially destabilizing, making the stability analysis of this specific kind of dynamic systems a problem of both theoretical interest and practical importance, which until now has not been satisfactorily studied in the literature. In this thesis some novel insights are first provided in the analysis of distributed parameter linearized models of high-speed power transmitting flexible rotors subjected to constant external loads. On this necessary basis, an analysis is then developed aimed at clarifying the gyroscopic effects on the stability of parametrically excited rotors, also highlighting the role played by damping distributions. As case-study, a balanced shaft is considered, modelled as a spinning Timoshenko beam loaded by oscillating axial end thrust and twisting moment, with possibility of carrying additional inertial elements. After discretization of the equations of motion into a set of coupled ordinary differential Mathieu-Hill equations, stability of Floquet-Lyapunov solutions is studied via eigen- problem formulation, obtained by applying the harmonic balance method. A numerical algorithm is then developed for computing global stability thresholds in presence of both gyroscopic and damping terms, aimed at reducing the computational load. Finally, the influence on stability of the main characteristic parameters of the rotor is analyzed with respect to frequency and amplitude of the external loads on stability charts in the form of Ince-Strutt diagrams. As a novel result, it is demonstrated that gyroscopic terms produce substantial differences in both critical solutions and stability thresholds: the former are generally non-periodic limited-amplitude functions, and modifications induced on stability thresholds consist of shifts and merging of unstable regions, depending on the separation of natural frequencies into pairs of forward and backward values induced by angular speed. As a practical result, the developed numerical algorithm provides an effective and efficient tool for tracing stability thresholds, also suitable for application to a more general category of gyroscopic systems, including complex shape rotors in those cases in which properly condensed finite element models would be available. The stability charts thus obtained can then be used as guidelines to provide simple safety limits for the time-varying, periodic loads acting on a rotor.

L’analisi dinamica di rotori flessibili adibiti alla trasmissione di potenza è un soggetto di ricerca di grande interesse nell’ambito della meccanica delle machine, attualmente incoraggiato dal crescente interesse verso applicazioni ad alta velocità di rotazione abbinata a più alte densità di potenza trasmesse. Gli effetti della spinta assiale e del momento torcente, rappresentanti condizioni di carica-mento comuni in ambito ingegneristico, sono stati studiati a lungo concentrando l’attenzione a problemi a carichi costanti. Tuttavia, più di recente, è stato considerato anche il caso di componenti oscillanti, studiate come causa di eccitazione parametrica in abito della dinamica dei rotori. Gli effetti indotti sono potenzialmente destabilizzanti, rendendo l’analisi di stabilità di questa specifica categoria di sistemi dinamici un problema d’importanza sia teorica che pratica, che ad oggi non è stata sufficientemente approfondita in letteratura. In questa tesi sono inizialmente forniti nuovi approfondimenti riguardo all’analisi di sistemi a parametri distribuiti, linearizzati, rappresentanti rotori flessibili per la trasmissione di potenza ad alta velocità, soggetti a carichi esterni costanti. Sulla base di questa necessaria introduzione, viene condotta un’analisi mirata allo studio degli effetti giroscopici sulla stabilità di rotori eccitati parametricamente, evidenziando inoltre il ruolo delle distribuzioni di smorzamento. Come caso di studio viene considerato un albero bilanciato, modellato come trave di Timoshenko rotante, caricato agli estremi da spinta assiale e momento torcente oscillanti, con la possibilità di calettamento di elementi inerziali aggiuntivi. A seguito della discretizzazione delle equazioni del moto in un sistema di equazioni differenziali ordinarie, accoppiate, del tipo Mathieu-Hill, la stabilità delle soluzioni di Floquet-Lyapunov viene studiata come problema agli autovalori, ottenuto applicando un metodo di bilancio armonico. Un algoritmo è in seguito sviluppato per la determinazione delle frontiere di stabilità globali, in concomitanza di effetti giroscopici e dissipativi, mirato alla riduzione del carico computazionale. Infine, viene analizzata l’influenza dei parametri fondamentali del rotore sulle mappe di stabilità, rispetto a frequenza e ampiezza dei carichi, nella forma di diagrammi di Ince-Strutt. Come nuovo risultato, è stato dimostrato che i termini giroscopici producono deviazioni so-stanziali sulle soluzioni critiche e sulle frontiere di stabilità: le prime sono generalmente funzioni limitate nel tempo non periodiche, mentre le mappe di stabilità subiscono sposta-menti e fusioni delle regioni di instabilità in ragione della separazione, indotta dalla velocità angolare, delle frequenze naturali del sistema in coppie di valori forward e backward. Dal punto di vista pratico, l’algoritmo sviluppato fornisce uno strumento efficace ed efficiente per il tracciamento delle frontiere di stabilità, idoneo anche all’utilizzo in categorie di rotori più generali, come rotori di forma complicata, nei casi in cui una condensazione di un modello agli elementi finiti sia disponibile. Le mappe di stabilità così ottenute possono essere utilizzate come linea guida per fornire semplici limiti di sicurezza sulle ampiezze dei carichi oscillanti.