La previsione geometrica: un modello per analizzare un processo cognitivo inerente il problem-solving in geometria

The purpose of the research is to study cognitive aspects of how geometric predictions are produced during problem-solving activities in Euclidean geometry. The process of geometric prediction is seen as a specific visuo-spatial ability involved in geometrical reasoning. Indeed, when solvers engage in solving a geometrical problem, they can imagine the consequences of transformations of the figure; such transformations can be more or less coherent with the theoretical constraints given by the problem, and the products of such transformations can hinder or promote the problem-solving process. Previous research has stressed the dual nature of geometrical objects, intertwining a conceptual component and a figural component. Interpreting geometrical reasoning in terms of a dialectic between these two aspects (Fischbein, 1993), this study aims at gaining insight into the cognitive process of geometric prediction, a process through which a figure is manipulated, and its change is imagined, while certain properties are maintained invariant. This process is described through a model of prediction-generation elaborated cyclically by observing, analyzing through a microgenetic approach, and re-analyzing solvers’ resolution of prediction open problems in a paper-and-pencil environment and in a Dynamic Geometry Environment (DGE). The prediction open problems designed were proposed during task-based interviews to participants selected on a voluntary basis. Participants were a total of 37 Italian high school students and undergraduate, graduate and PhD students in mathematics. Data are composed of video and audio recordings, transcriptions, solvers’ drawings. The final version of the model provides a description of the prediction processes accomplished by a solver who engages in the resolution of prediction open problems proposed in this study; it provides a lens through which solvers’ productions can be analyzed and it provides insight into prediction processes. In particular, it sheds light onto the key role played by theoretical elements that are introduced by the solvers during the resolution process and the key role played by the solver’s theoretical control. The study has implications for the design of activities, especially at the high school level, with the educational objective of fostering students’ geometrical reasoning and in particular their theoretical control over the geometrical figures.

La ricerca mira a studiare gli aspetti cognitivi coinvolti nella produzione di previsioni geometriche durante la risoluzione di problemi nell’abito della Geometria Euclidea. Si può considerare il processo di previsione geometrica come una specifica abilità visuo-spaziale coinvolta nel pensiero geometrico. Infatti, durante il processo di risoluzione di un problema geometrico, un solutore può immaginare diverse trasformazioni della figura e i loro effetti; tali trasformazioni possono essere più o meno coerenti con i vincoli teorici dati dal problema. Inoltre, i prodotti di tali trasformazioni possono inibire o supportare il processo risolutivo. Ricerche precedenti hanno evidenziato e posto l’attenzione sulla natura degli oggetti geometrici, considerando sia la componente concettuale che la componente figurale. Interpretando il pensiero geometrico in termini di dialettica tra questi due aspetti (Fischbein, 1993), lo studio mira a comprendere il processo di previsione geometrica, inteso come un processo attraverso il quale una figura viene manipolata, i suoi cambiamenti immaginati, mentre alcune proprietà vengono mantenute invarianti. Il processo di previsione geometrica viene descritto attraverso un modello di generazione di previsioni elaborato ciclicamente: osservando, analizzando secondo un approccio microgenetico e analizzando nuovamente il comportamento di diversi solutori durante la risoluzione di problemi aperti di previsione proposti sia in ambiente carta e penna che in un Ambiente di Geometria Dinamica (AGD). I problemi aperti di previsione progettati per lo studio sono stati proposti durante interviste task-based a solutori coinvolti su base volontaria. Hanno preso parte allo studio un totale di 37 solutori italiani tra studenti di scuola secondaria di secondo grado, studenti di laurea triennale e magistrale e di dottorato in Matematica. I dati constano di registrazioni video e audio, trascrizioni delle interviste, disegni dei solutori. La versione finale del modello descrive i processi di previsione di un solutore coinvolto nella risoluzione dei problemi aperti di previsione proposti nello studio. Inoltre, il modello fornisce una lente teorica utile per analizzare le produzioni dei solutori e comprendere più profondamente i processi di previsione. In particolare, il modello chiarisce il ruolo cruciale sia degli elementi teorici introdotti dal solutore durante il processo risolutivo, sia del controllo teorico che i solutori esercitano. Lo studio ha implicazioni didattiche, utili in particolar modo per la scuola secondaria di secondo grado, per la progettazione di attività volte a promuovere il pensiero geometrico degli studenti e il loro controllo teorico sulle figure geometriche.