Quantum walk continui nel tempo per le tecnologie quantistiche: stima quantistica e modellizzazione di fenomeni di trasporto

Quantum walks are the quantum counterpart of classical random walks and describe the motion of a quantum walker when confined to discrete spatial locations. The quantum nature of the walker gives them peculiar features, totally different from the classical ones. In the continuous-time quantum walk (CTQW) the state of the walker obeys the Schrödinger equation and evolves under a Hamiltonian typically given by the Laplacian matrix. The latter is the mathematical representation of a graph, whose vertices are the allowed positions, and the edges the allowed paths. Actually, any Hamiltonian which respects the topology of the graph defines a CTQW, thus making CTQWs extremely versatile. CTQWs are investigated in several research areas, ranging from modeling of physical phenomena to quantum communication, from universal quantum computation to the development of quantum algorithms. Experimentally, they can be implemented on different platforms, e.g., NMR quantum computers, optical lattices of ultracold Rydberg atoms, photonic chips, spin chains, and superconducting qubits. This thesis is a theoretical study on CTQWs, with a focus on their dynamics, free or in the presence of external perturbations, and on their potential use as probes in quantum estimation problems. A quantum probe is a physical system prepared in a quantum state sensitive to fluctuations affecting one or more parameters of interest. The quantum Fisher information (QFI) is the central quantity in quantum metrology, as it establishes the ultimate bound on the achievable precision in estimating a parameter of interest. Diverging QFI corresponds to optimal estimability. We studied CTQWs generated by the Laplacian matrix and perturbed by its square, as this term introduces next-nearest-neighbor hopping. After investigating the evolution of a walker on paradigmatic graphs for connectivity and symmetry, we determined the walker preparations and the graphs that maximize the QFI for estimating the perturbation parameter. Moreover, we investigated CTQWs on the regular tessellations of the Euclidean plane, showing that the spread is not universally ballistic. Then, assuming a charged walker, we inserted a perpendicular uniform magnetic field and compared two approaches to define the CTQW Hamiltonian: (i) Introducing the Peierls phase-factors and (ii) spatially discretizing the original Hamiltonian in the continuum. Based on this, we used a charged (spinless) particle on a finite square lattice as a probe to detect a locally static transverse magnetic field, putting forward the idea of lattice quantum magnetometry. Our scheme finds its root in CTQWs, but it does not exploit their dynamical properties, being based on ground-state measurements. The system turned out to be of interest as a quantum magnetometer, providing non-negligible QFI with relevant peaks in a large range of configurations. Employing the concept of QFI and graph theory, we assessed the role of topology on the thermometric performance of a given system. Upon modeling the thermometer as a set of vertices for the CTQW of an excitation at thermal equilibrium, we found that low connectivity is a resource to build precise thermometers working at low temperatures, whereas highly connected systems are suitable for higher temperatures. Graphs with different topology also exhibit different transport properties. To correlate them, we modeled transport processes as coherent CTQWs of an excitation and we analytically assessed the transport efficiency for different initial states and graphs. Our results suggest that, in general, connectivity is a poor indicator for transport efficiency.

I quantum walk sono la controparte quantistica dei random walk classici e descrivono il moto di un walker quantistico confinato su posizioni discrete. La natura quantistica del walker conferisce loro caratteristiche peculiari, totalmente diverse da quelle classiche. Nel quantum walk continuo nel tempo (CTQW) lo stato del walker soddisfa l’equazione di Schrödinger ed evolve secondo l’Hamiltoniana data, tipicamente, dalla matrice Laplaciana. Quest’ultima è la rappresentazione matematica di un grafo, i cui vertici sono le posizioni permesse e gli archi i cammini consentiti. In realtà, qualsiasi Hamiltoniana che rispetta la topologia del grafo definisce un CTQW. I CTQW sono studiati in diverse aree di ricerca, dalla modellizzazione di fenomeni fisici alla comunicazione quantistica, dalla computazione quantistica universale allo sviluppo di algoritmi quantistici. Sperimentalmente, possono essere implementati su diverse piattaforme, quali computer quantistici NMR, atomi di Rydberg ultrafreddi in reticoli ottici, chip fotonici, catene di spin e qubit superconduttori. Questa tesi è uno studio teorico sui CTQW focalizzato sulla loro dinamica, libera o in presenza di perturbazioni esterne, e sul loro potenziale utilizzo come sonde in problemi di stima quantistica. Una sonda quantistica è un sistema fisico preparato in uno stato quantistico sensibile alle fluttuazioni di uno o più parametri. L’informazione di Fisher quantistica (QFI) è la quantità centrale della metrologia quantistica, in quanto stabilisce il limite ultimo alla precisione ottenibile nella stima di un parametro di interesse. Una QFI divergente corrisponde alla stimabilità ottimale. Abbiamo studiato CTQW generati dalla matrice Laplaciana e perturbati dal suo quadrato, in quanto questo termine introduce hopping a secondi vicini. Dopo aver analizzato l’evoluzione di un walker su grafi paradigmatici per connettività e simmetria, abbiamo determinato le preparazioni del walker e i grafi che massimizzano la QFI per la stima del parametro perturbativo. Inoltre, abbiamo analizzato i CTQW sulle tassellature regolari del piano Euclideo, mostrando che la propagazione non è universalmente balistica. Assumendo poi un walker dotato di carica, abbiamo inserito un campo magnetico uniforme perpendicolare e confrontato due definizioni dell’Hamiltoniana del CTQW: (i) l’introduzione dei fattori di fase di Peierls e (ii) la discretizzazione spaziale dell’Hamiltoniana originale nel continuo. Quindi, abbiamo utilizzato una particella carica (senza spin) su un reticolo quadrato finito come sonda per rilevare un campo magnetico localmente statico e perpendicolare, avanzando l’idea di magnetometria quantistica reticolare. Il nostro schema deriva dai CTQW, ma non ne sfrutta le proprietà dinamiche, basandosi su misure di stato fondamentale. Il sistema è di interesse come magnetometro quantistico, poiché fornisce una QFI non trascurabile e con picchi rilevanti per numerose configurazioni. Utilizzando il concetto di QFI e la teoria dei grafi, abbiamo valutato il ruolo della topologia sulle prestazioni termometriche di un dato sistema. Modellizzando il termometro come un insieme di vertici per il CTQW di un’eccitazione all’equilibrio termico, abbiamo trovato che una bassa connettività è una risorsa per realizzare termometri precisi a basse temperature, mentre sistemi altamente connessi sono adatti per temperature più elevate. Grafi con diversa topologia presentano anche proprietà diverse di trasporto. Per correlarle, abbiamo modellizzato i processi di trasporto come CTQW coerenti di un’eccitazione ed abbiamo calcolato analiticamente l’efficienza di trasporto per diversi stati iniziali e grafi. I nostri risultati suggeriscono che in generale la connettività non è un buon indice per l’efficienza di trasporto.