Compattificazioni wonderful e spazi di moduli di Kontsevich di coniche

In this thesis we study certain algebraic varieties from the point of view of birational geometry. Given a variety we want to describe all its birational models. In general, this is a very difficult problem, but for a special class of varieties, called Mori dream spaces, the birational geometry is encoded in a decomposition into convex sets of their effective cone. Mori dream spaces have been introduced by Y. Hu and S. Keel, and are named so since they behave in the best possible way from the point of view of the minimal model program. The first part of the thesis is dedicated to the construction of wonderful compactifications of spaces of linear maps. We recall the construction, due to I. Vainsencher, of the spaces of complete collineations and quadrics of maximal rank and then we generalize it to spaces of linear maps of any rank. Then, we construct the wonderful compactification of the space of symmetric and symplectic matrices. By a result of D. Luna, wonderful varieties are spherical and hence Mori dream spaces. So, we take advantage of the spherical structure of these spaces to study their birational geometry from the point of view of Mori theory and in the cases of small Picard rank we give a complete description of the decomposition of the effective cone. In the second part, we relate our wonderful compactification to other moduli spaces such as Hilbert schemes and Kontsevich spaces of stable maps. In fact, we get several results on the birational geometry of Kontsevich moduli spaces of conics in Grassmannians, in Lagrangian Grassmannians and of stable maps of bi-degree (1,1) in a product of two projective spaces.

In questa tesi studiamo alcune varietà algebriche dal punto di vista della geometria birazionale. Data una varietà vogliamo descrivere tutti i suoi modelli birazionali. In generale questo è un problema molto difficile, ma per una classe speciale di varietà, chiamate Mori dream spaces, la geometria birazionale è codificata in una decomposizione in insiemi convessi del loro cono effettivo. I Mori dream spaces sono stati introdotti da Y. Hu e S. Keel e sono chiamati così poiché si comportano nel miglior modo possibile dal punto di vista del programma dei modelli minimali. La prima parte della tesi è dedicata alla costruzione di compattificazioni wonderful di spazi di mappe lineari. Riprendiamo la costruzione, dovuta a I. Vainsencher, degli spazi delle collineazioni e delle quadriche complete di rango massimo e poi la generalizziamo a spazi di mappe lineari di qualsiasi rango. Costruiamo poi la compattificazione wonderful dello spazio delle matrici simmetriche e simplettiche. Grazie ad un risultato di D. Luna, le varietà wonderful sono varietà sferiche e quindi Mori dream spaces. Approfittando della struttura sferica di questi spazi studiamo la loro geometria birazionale dal punto di vista della teoria di Mori e nei casi di rango di Picard basso diamo una descrizione completa della decomposizione del cono effettivo. Nella seconda parte mettiamo in relazione le nostre nuove compattificazioni wonderful con altri spazi di moduli come gli schemi di Hilbert e gli spazi di Kontsevich di mappe stabili. Infatti, otteniamo in questo modo molti risultati sulla geometria birazionale degli spazi di moduli di Kontsevich di coniche in Grassmanniane, in Grassmanniane Lagrangiane e di mappe stabili di bi-grado (1,1) in un prodotto di due spazi proiettivi.