CLASSIFICAZIONE DELLE 5-VARIETA' P.L. CON GENERE REGOLARE <= 8

Il genere regolare di una n-varietà PL $M^n$ è un invariante combinatorio $G(M^n) \ge 0$, definito in C.Gagliardi, Extending the concept of genus to dimension n, Proc. Amer. Math. Soc. 81 (1981), 473-481]) all'interno della teoria di rappresentazione delle varietà tramite grafi colorati sugli spigoli, che estende a dimensione arbitraria le classiche nozioni di genere di una superficie e di genere di Heegaard di una 3-varietà. E' noto che, in ogni dimensione, $G(M^n)$ assume valore zero se e soltanto se $M^n$ è omeomorfa alla n-sfera $S^n.$ Per quanto riguarda la dimensione cinque, si è ottenuta la classificazione completa delle varietà chiuse connesse ed orientabili aventi genere regolare minore o uguale ad otto: Sia $M^5$ una 5-varietà PL chiusa connessa orientabile. Allora: (a) $1 \le G(M^n) = m \le 7$ se e solo se $M^5 = #m(S^1 x S^4);$ (b) $G(M^n) = 8$ se e solo se o $M^5 = #8(S^1 x S^4)$ o $M^5 = S^2 x S^3$ (ove $#m(S^1 x S^4)$ denota la somma connessa di m copie di $S^1 x S^4$). Come conseguenza, si è calcolato il genere regolare dello spazio proiettivo reale $RP^5$: $G(RP^5) =9.$