Problemi di insegnamento-apprendimento in matematica: significati, modelli, teorie

Questo numero speciale della rivista è dedicato alla presentazione di alcuni contributi prodotti nell’ambito del progetto PRIN 2003 - prot. 2003011072 . Il tema unificante delle ricerche svolte dalle cinque unità è la produzione e la diffusione di risultati di ricerca sulla cesura tra aspetti empirici ed aspetti teorici in matematica e l'utilizzo di mediatori per supportare gli allievi nel suo superamento, in particolare nell'approccio ai concetti matematici e alla dimostrazione. Il tema è rilevante per le implicazioni didattiche, poichè, nel sistema scolastico italiano, proprio la cesura tra aspetti empirici e aspetti teorici in matematica è causa di esteso abbandono all'ingresso nelle scuole secondarie superiori e all'ingresso all'università. In accordo con la direzione della rivista, è parso opportuno proporre in questa sede una selezione dei risultati ottenuti nei due anni di ricerca (2004 e 2005). Ciascuna unità ha operato una scelta che potesse rappresentare alcuni dei temi affrontati. Vale la pena di ricordare che sono stati pubblicati 17 lavori su riviste internazionali con referee e 48 lavori su riviste italiane con referee; sono inoltre pubblicate negli atti di convegni internazionali oltre 100 lavori e 60 negli atti di congressi nazionali. La scelta di destinare i migliori contributi alla pubblicazione in lingue diverse dall’italiano (in qualche modo forzata dai criteri di valutazione accademici) rischia di impoverire l’offerta rivolta agli insegnanti italiani. Questa pubblicazione vuole contrastare questa tendenza: naturalmente, la limitazione dello spazio ha portato ad escludere contributi anche molto rilevanti, alcuni dei quali sono citati nella bibliografia.Alla conclusione del biennio di ricerca, sono stati prodotti risultati utilizzati come base della proposta di un nuovo progetto di ricerca, attualmente in corso. Le unità hanno svolto ricerche di vari tipi:- Studi teorici preliminari, in cui si approfondiscono da un punto di vista epistemologico alcuni temi, in vista di esperimenti didattici. Un esempio è rappresentato dallo studio su dimostrazione e percezione svolto dall’unità di Roma ‘La Sapienza’. Lo studio, che si avvale anche di riscontri tratti da alcune attività sperimentali, affronta il delicato equilibrio tra l’aspetto logico della geometria (che prevede una concatenazione sistematica degli enunciati) e l’aspetto intuitivo o percettivo (che privilegia una comprensione di tipo globale degli oggetti geometrici). - Studi sperimentali, in cui si presentano la pianificazione, la realizzazione e l’analisi di opportuni esperimenti didattici, coinvolgenti studenti di diversi gradi scolastici, dalla scuola elementare all’università, e basati di norma sul contributo essenziale degli insegnanti-ricercatori.Un esempio è rappresentato dallo studio su nuove tecnologie e studio delle grandezze che variano, svolto da D. paola dell’Unità di Genova. Lo studio descrive i comportamenti degli studenti di una seconda liceo scientifico, posti di fronte a un problema di covariazione in ambiente Cabri.L’approccio alle funzioni è trattato anche nel lavoro di M. Maschietto dell’Unità di Modena e Reggio Emilia, dedicato all’analisi del ruolo degli artefatti nell’introduzione all’analisi matematica, nell’ambiente delle calcolatrici grafico-simboliche, con studenti di quarta liceo scientifico. In un quadro di riferimento Vygotskiano, si discute l’ipotesi secondo la quale i comandi di zoom di cui dispongono le calcolatrici considerate possono sostenere la produzione di segni (gesti, metafore, ...) e favorire il passaggio da un punto di vista globale a un punto di vista locale.La storia della matematica nello sviluppo della “conoscenza per insegnare” è al centro del lavoro di F. Furinghetti dell’Unità di Genova. Lo studio, che coinvolge specializzandi della SSIS, discute l’ipotesi secondo la quale, attraverso il ricorso alla storia della matematica, si possono promuovere nuovi punti di vista, modificando le convinzioni basate sulla esperienza vissuta da studenti.Studi teorici di sintesi, in cui si presentano modelli interpretativi dei processi cognitivi, basati su osservazioni sistematiche degli studenti, attraverso modalità diverse, tra cui fondamentale è l’intervista clinica.Un esempio è dato dallo studio di S. Antonini e M. A. Mariotti (già appartenenti all’Unità di Pisa ed ora all’Unità di Siena), dedicato alla costruzione di un modello per l’analisi cognitiva e didattica della dimostrazione per assurdo. Il modello è uno strumento efficace per l’individuazione, l’analisi e l’interpretazione di problematiche di carattere cognitivo e didattico, e per la formulazione di precise ipotesi di ricerca in relazione alle dimostrazioni per assurdo.Un discorso a parte merita il contributo di F. Arzarello dell’Unità di Torino: è la traduzione del testo della conferenza plenaria tenuta nel convegno internazionale ICME10, svolto a Copenhagen-Lyngby nel 2004. In questa conferenza, Arzarello, prende l’avvio dalla constatazione del salto esistente tra la verità fisica in cui i nostri studenti vivono le loro esperienze concrete e la verità logica, che rappresenta il rigoroso lato ufficiale della matematica. L’esempio discusso inizialmente riguarda il caso di una bambina di 9 anni che si muove in presenza di un sonar, osservando il grafico spazio-tempo prodotto in modo automatico sullo schermo di un computer. La distanza tra l’esperienza di Eleanor e una definizione di funzione come quella bourbakista sembra incolmabile. La ricostruzione dei processi necessari a colmare questa distanza avviene nel cosiddetto spazio APC (spazio di Azione, Produzione e Comunicazione), ricostruito in classe sotto la guida dell’insegnante. Quello proposto da Arzarello è un quadro teorico che può organizzare diversi studi sperimentali realizzati in Italia e all’estero. Gli strumenti di analisi sono ripresi da diverse discipline quali la storia per analizzare l’ambiente culturale; l’ergonomia per analizzare gli artefatti culturali; la semiotica per analizzare segni e linguaggi; la neurologia e la psicologia per analizzare percezioni, azioni e gesti. Il ruolo dell’insegnante nell’orchestrazione della attività è estremamente delicato. L’analisi del ruolo dell’insegnante è affrontata in altri studi non documentati in questo numero della rivista. Sono gli studi sulla mediazione semiotica nel quadro Vygotskiano condotti da Bartolini, Mariotti e collaboratori e miranti a definire in modo preciso i processi di mediazione dei significati, messi in opera sotto la guida dell’insegnante e con l’utilizzo di opportuni artefatti. Alcuni di questi studi sono stati pubblicati recentemente su questa stessa rivista.