Sul genere regolare delle PL-varietà con gruppo fondamentale libero.

All'interno della teoria di rappresentazione delle n-varietà PL tramite grafi colorati sugli spigoli ([M.Pezzana, Sulla struttura topologica delle varietà compatte, Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena, 23 (1974), 269-277], [M.Ferri - C.Gagliardi - L.Grasselli, A graph-theoretical representation of PL-manifolds. A survey on crystallizations, Aequationes Mat. 31, (1986), 121-141], [A.Vince, n-graphs, Discrete Math. 72 (1988), 367-380], [A.Costa, Coloured graphs representing manifolds and universal maps, Geom. Dedicata 28 (1988), 349-357], [S.Lins, Gems, computers and attractors for 3-manifolds, Knots and Everything, World Scientific 5, 1995]…), è nota l'esistenza di un invariante per varietà PL - detto genere regolare - che estende a dimensione arbitraria le classiche nozioni di genere di una superficie e di genere di Heegaard di una 3-varietà (si veda [C.Gagliardi, Extending the concept of genus to dimension n, Proc. Amer. Math. Soc. 81 (1981), 473-481]). In qualunque dimensione, sia nel caso chiuso che nel caso con bordo, è facile verificare che $G(M^n) \ge rk(M^n)$, ove $G(M^n)$ denota il genere regolare della n-varietà $M^n$ e $rk(M^n)$ denota il rango del suo gruppo fondamentale $\pi_1(M^n)$. Nella presente comuncazione sono esposti alcuni risultati ottenuti in dimensione quattro e cinque sulla classificazione delle PL-varietà con gruppo fondamentale libero, quando sia nota la differenza tra il genere regolare della varietà e il rango del suo gruppo fondamentale. Di seguito è esposto il primo di tali risultati, che riguarda il caso in cui la differenza descritta sia nulla.Sia $M^n$ una n-varietà PL di dimensione n, con n=4 o n=5. Allora: $G(M^n) = m$ e $rk(M^n) se e solo se $M^n = #m(S^1 x S^{n-1}$ (se $\partial M^n =\emptyset$) o $M^n = #l(S^1 x S^{n-1} # Y^n_{m-l}$ (se $\partial M^n \ne \emptyset$), ove $#a(S^1 x S^{n-1}$ denota la somma connessa di a copie del fibrato standard su $S^1$ con fibra $S^{n-1}$, mentre $Y^n_a$ denota il corpo di manici n-dimensionale di genere a. Come conseguenza dei risultati ottenuti, si caratterizzano le varietà $M^n$ con $G(M^n) \le G(\partial M^n) +1$ (per n=4 e per n=5), e si completano le classificazioni delle 4-varietà con bordo fino a genere regolare tre, delle 5-varietà con bordo fino a genere regolare cinque e delle 5-varietà chiuse fino a genere regolare otto.