Let P^2 be the complex projective plane and let Cr(P^2) be its Cremona group, that is the group of birational maps P^2 ---> P^2. The celebrated Noether-Castelnuovo Theorem states that Cr(P^2) is generated by automorphisms of P^2 and the elementary quadratic transformation σ: [x : y : z] -> [yz : xz : xy]. So any plane Cremona map φ can be written as φ = α_0 ◦ σ ◦ α_1 ◦ … ◦ σ ◦ α_n, where α_0,…, α_n are automorphisms of P^2. Let us say that a decomposition of φ as above is "minimal" if so is n among all decompositions of φ. Let us call such n the "ordinary quadratic length" of φ and denote it by oq(φ). Recall that a quadratic plane Cremona map is called "ordinary" if it has three proper base points. In other words, oq(φ) is the minimal number of ordinary quadratic maps needed to decompose φ. Similarly, let us define the "quadratic length" of a plane Cremona map φ as the minimal number of quadratic maps needed to decompose φ and let us denote it by q(φ). Even if the method to decompose a plane Cremona map φ in quadratic ones is known from more than one century, it is not yet known an algorithm that computes the ordinary quadratic length or the quadratic length of φ. From this point of view, it is natural to say that two plane Cremona maps φ and ψ are equivalent if there exist two automorphisms α and β of P^2 such that φ = α ◦ ψ ◦ β. Recently, Dominique Cerveau and Julie Déserti gave a classification of cubic plane Cremona maps in 32 types, namely 27 types are a single map each, 4 types are families depending on 1 parameter and 1 type is a family depending on two parameters. Their classification is based on the analysis of plane curves contracted by a cubic plane Cremona map. One of the main results of this thesis is the complete classification of equivalence classes of cubic plane Cremona maps, that are divided in 31 types, namely 25 types are single maps, 5 types are families depending on 1 parameter and 1 type is a family depending on two parameters. Our classification is based on the so-called enriched proximity graphs of the base points of cubic plane Cremona maps, that is a way to encode the proximity relations among the base points, together with their collinearity properties. Comparing the two classifications, we see that Cerveau and Déserti missed one type and they made some inaccuracies. Concerning quartic plane Cremona maps, recall that they can divided in De Jonquières maps, that have a triple base point and 6 simple base points, and non-De Jonquières maps, that have 3 double base points and 3 simple base points. A complete classification of equivalence classes of quartic plane Cremona maps seems to be out of reach. Nonetheless, we give a complete list of all possible enriched proximity graphs of the base points of all quartic plane Cremona maps, namely there are exactly 382 types of enriched proximity graphs of quartic De Jonquières maps and 106 types of enriched proximity graphs of quartic non-De Jonquières maps. Finally, we deal with De Jonquières maps of arbitrary degree. We give some bounds on the ordinary quadratic length and the quadratic length of some types of De Jonquières maps. Furthermore, we give an algorithm that computes these lengths under the assumption that a minimal decomposition is realized by using De Jonquières maps only.

Sia P^2 il piano proiettivo complesso e sia Cr(P^2) il suo gruppo di Cremona, ovvero il gruppo di applicazioni birazionali P^2 ---> P^2. Il celebre teorema di Noether-Castelnuovo afferma che Cr(P^2) è generato dagli automorfismi di P^2 e dalla trasformazione quadratica elementare σ: [x : y : z] -> [yz : xz : xy]. Quindi una trasformazione cremoniana qualsiasi φ può essere scritta come φ = α_0 ◦ σ ◦ α_1 ◦… ◦ σ ◦ α_n, dove α_0,…, α_n sono automorfismi di P^2. Diciamo che una decomposizione di φ come sopra è "minimale" se così è n tra tutte le decomposizioni di φ. Chiamiamo tale n "lunghezza quadratica ordinaria" di φ e la indichiamo con oq(φ). Ricordiamo che una trasformazione cremoniana piana quadratica è detta "ordinaria" se ha tre punti base propri. In altre parole, oq(φ) è il numero minimo di trasformazioni cremoniane piane quadratiche ordinarie necessarie per decomporre φ. Allo stesso modo, definiamo la "lunghezza quadratica" di una trasformazione cremoniana piana φ come il numero minimo di trasformazione cremoniane piane quadratiche necessarie per decomporre φ e lo indichiamo con q(φ). Anche se il metodo per decomporre una trasformazione cremoniana piana φ in quadratiche è noto da più di un secolo, non è ancora noto un algoritmo che calcola la lunghezza quadratica ordinaria o la lunghezza quadratica di φ. Da questo punto di vista, è naturale affermare che due trasformazioni cremoniane piane φ e ψ sono equivalenti se esistono due automorfismi α e β di P^2 tali che φ = α ◦ ψ ◦ β. Recentemente, Dominique Cerveau e Julie Déserti hanno classificato le trasformazioni cremoniane piane cubiche in 32 tipi, ovvero 27 tipi sono una singola mappa, 4 tipi sono famiglie che dipendono da 1 parametro e l’ultimo tipo è una famiglia che dipende da due parametri. La loro classificazione si basa sull'analisi delle curve piane contratte da una trasformazione cremoniana piana cubica. Uno dei risultati principali di questa tesi è la classificazione completa delle classi di equivalenza delle trasformazioni cremoniane piane cubiche, che sono divise in 31 tipi, vale a dire 25 tipi sono trasformazioni singole, 5 tipi sono famiglie dipendenti da un parametro e l’ultimo tipo è una famiglia dipendente da due parametri. La nostra classificazione si basa sui cosiddetti grafi di prossimità arricchiti dei punti base delle trasformazioni cremoniane piane cubiche, ovvero un modo per codificare le relazioni di prossimità tra i punti base, insieme alle loro proprietà di collinearità. Confrontando le due classificazioni, si vede che Cerveau e Déserti hanno fatto alcune imprecisioni e si sono dimenticati un tipo. Per quanto riguarda le trasformazioni cremoniane piane quartiche, ricordiamo che possono essere trasformazioni di De Jonquières, se hanno un punto base triplo e 6 punti base semplici, o trasformazioni non di De Jonquières, se hanno 3 punti base doppi e 3 punti base semplici. Una classificazione completa delle classi di equivalenza delle trasformazioni cremoniane piane quartiche sembra essere fuori portata. Tuttavia, forniamo un elenco completo di tutti i possibili grafi di prossimità arricchiti dei punti di base di tutte le trasformazioni cremoniane piane quartiche: per la precisione, ci sono esattamente 382 tipi di grafi di prossimità arricchiti di trasformazioni quartiche di De Jonquières e 106 tipi di grafi di prossimità arricchiti di trasformazioni quartiche non di De Jonquières. Infine, ci occupiamo di trasformazioni di De Jonquières di grado arbitrario. Diamo dei limiti alla lunghezza quadratica ordinaria e alla lunghezza quadratica di alcuni tipi di trasformazioni di De Jonquières e descriviamo un algoritmo che calcola queste lunghezze sotto l’ipotesi che una decomposizione minimale sia realizzata usando solo le trasformazioni di De Jonquières.

Sulle trasformazioni cremoniane piane di grado basso e le loro lunghezze quadratiche / Thi Ngoc Giao Nguyen , 2020 Feb 28. 32. ciclo, Anno Accademico 2018/2019.

Sulle trasformazioni cremoniane piane di grado basso e le loro lunghezze quadratiche

NGUYEN, THI NGOC GIAO
2020

Abstract

Let P^2 be the complex projective plane and let Cr(P^2) be its Cremona group, that is the group of birational maps P^2 ---> P^2. The celebrated Noether-Castelnuovo Theorem states that Cr(P^2) is generated by automorphisms of P^2 and the elementary quadratic transformation σ: [x : y : z] -> [yz : xz : xy]. So any plane Cremona map φ can be written as φ = α_0 ◦ σ ◦ α_1 ◦ … ◦ σ ◦ α_n, where α_0,…, α_n are automorphisms of P^2. Let us say that a decomposition of φ as above is "minimal" if so is n among all decompositions of φ. Let us call such n the "ordinary quadratic length" of φ and denote it by oq(φ). Recall that a quadratic plane Cremona map is called "ordinary" if it has three proper base points. In other words, oq(φ) is the minimal number of ordinary quadratic maps needed to decompose φ. Similarly, let us define the "quadratic length" of a plane Cremona map φ as the minimal number of quadratic maps needed to decompose φ and let us denote it by q(φ). Even if the method to decompose a plane Cremona map φ in quadratic ones is known from more than one century, it is not yet known an algorithm that computes the ordinary quadratic length or the quadratic length of φ. From this point of view, it is natural to say that two plane Cremona maps φ and ψ are equivalent if there exist two automorphisms α and β of P^2 such that φ = α ◦ ψ ◦ β. Recently, Dominique Cerveau and Julie Déserti gave a classification of cubic plane Cremona maps in 32 types, namely 27 types are a single map each, 4 types are families depending on 1 parameter and 1 type is a family depending on two parameters. Their classification is based on the analysis of plane curves contracted by a cubic plane Cremona map. One of the main results of this thesis is the complete classification of equivalence classes of cubic plane Cremona maps, that are divided in 31 types, namely 25 types are single maps, 5 types are families depending on 1 parameter and 1 type is a family depending on two parameters. Our classification is based on the so-called enriched proximity graphs of the base points of cubic plane Cremona maps, that is a way to encode the proximity relations among the base points, together with their collinearity properties. Comparing the two classifications, we see that Cerveau and Déserti missed one type and they made some inaccuracies. Concerning quartic plane Cremona maps, recall that they can divided in De Jonquières maps, that have a triple base point and 6 simple base points, and non-De Jonquières maps, that have 3 double base points and 3 simple base points. A complete classification of equivalence classes of quartic plane Cremona maps seems to be out of reach. Nonetheless, we give a complete list of all possible enriched proximity graphs of the base points of all quartic plane Cremona maps, namely there are exactly 382 types of enriched proximity graphs of quartic De Jonquières maps and 106 types of enriched proximity graphs of quartic non-De Jonquières maps. Finally, we deal with De Jonquières maps of arbitrary degree. We give some bounds on the ordinary quadratic length and the quadratic length of some types of De Jonquières maps. Furthermore, we give an algorithm that computes these lengths under the assumption that a minimal decomposition is realized by using De Jonquières maps only.
On plane Cremona maps of small degree and their quadratic lengths
28-feb-2020
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