In the first two chapters of the thesis we show how can Shell Models be viewed as a simplified model of the Navier-Stokes equation. The Navier-Stokes equation, mimics the dynamic of a fluid and it represents one of the most challenging open problems in mathematic.In the NS model the fluid is thought as a continuum stream identified by a velocity field, a temperature field, a pressure field and a density field. From the Fourier series of the NSE we deduce a transfer of energy from large to small scale. Shell models are a simplified version of the Fourier series of NSE, with the aim of mimic the energy cascade in a infinite dimensional dynamic system where the equations are coupled, this means that the n-th component interacts only with n-1-th and n+1-th components. A shell model can be viewed as a division of the space into concentric spheres with expontially growing radius. In this environment the n-th shell will be the set of wave numbers contained in the n-th sphere and not in the n-1-th one. Compared to the NSE we can note that the dynamic of shell models is way simplier. Despite this, shell models are consistent enough with the turbulence theory to significant mimic the energy cascade of NSE. The aim of the third chapter is to prove an existence result on the mixed shell model extending the classic standard existence results from finite energy initial conditions to M-almost every initial conditions, where M is a Gaussian measure on the infinite dimensional space of initial conditions. The first step would be to consider a mixed model with suitable coefficients, to let to a certain Gaussian measure M to be invariant for the system. Then we find a Galerkin approximation of the infinite dimensional shell model, in a way that every finite dimensional system of the sequence admits a unique solution by Cauchy-Lipschitz theorem and such that every finite N-dimensional system has an invariant measure given by the projection of M on the first N coordinates. In the second step we introduce random initial conditions and we obtain fundamental extimates on the norm of random solutions on certain spaces. The invariance of the measure plays an important role in the computation of the norm extimates and our results on these extimates fully depend on it. In the third step we use a compactness argument to extract a weak limit of the sequence of random solution for the N-dimensional system, based on a combination of Aubin-Lions lemma and Prohorov Theorem. Last, in the fourth step, we prove that the weak limit obtained from the third step can be extended to an a.s. limit, thanks to Skorokhod representation theorem, that formally solves the integral equation of the infinite dimensional dynamic system. In the fourth and last chapter we work on tree models. First we briefly introduce turbolence tree models, then we work on a forced tree model, way more general than the Katz-Pavlovic one, where the force acts only on the first component. Differently from other shell models, this forced ones is not conservative, in the sense that the energy is not constant along the trajectories. Last we consider a mixed cascade tree model with coefficients taken to let to a Gaussian measure to be invariant and we apply all techniques used in the last chapter to get an existence result that improves the finite energy existence result that we have done for the more general model.

Nei primi due capitoli della tesi mostriamo come gli Shell Models possano essere dei buoni approssimanti della dinamica dell'equazione di Navier-Stokes. L'equazione di Navier-Stokes mima la dinamica di un fluido e rappresenta uno dei problemi aperti piu' studiati e difficili di tutta la matematica. Nel modello di Navier-Stokes il fluido e' pensato come un flusso continuo descritto da velocita', temperatura, pressione e densita'. Le equazioni che descrivono la dinamica del fluido derivano dalla conservazione della massa, dei momenti, dell'energia e dall'equazione di stato. Dalla serie di Fourier dell'equazione di Navier-Stokes si deduce un trasferimento dell'energia da larga scala a piccola scala. Gli Shell Models sono una versione semplificata dell'equazione Navier-Stokes, con l'obiettivo di mimare la cascata energetica in un sistema dinamico infinito dimensionale dove le equazioni sono accoppiate, ovvero l'n-esima componente interagisce soltanto con la n+1-esima e con la n-1-esima. Uno Shell Model puo' essere visto come una divisione dello spazio in sfere concentriche con raggio esponenzialmente crescente. In questo contesto l'n-esima shell sara' l'insieme dei wave numbers contenuti nella n-esima sfera e non nella n-1-esima. Rispetto all'equazione Navier-Stokes la dinamica degli Shell-Models e' molto piu' semplificata, ciononostante e' sufficientemente in linea con la teoria della turbolenza per mimare significativamente la cascata energetica dell'equazione di Navier-Stokes. Lo scopo del terzo capitolo e' di dimostrare un risultato di esistenza nel modello misto, estendendo il classico risultato di esistenza da per ogni condizione iniziale a energia finita a per quasi ogni condizione iniziale, dove per quasi ogni e' rispetto a una misura Gaussiana M sullo spazio infinito dimensionale delle condizioni iniziali. Il primo passo e' considerare un modello misto con coefficienti tali da permettere a una misura Gaussiana M di essere invariante lungo le traiettorie del sistema. Quindi si costruisce una approssimazione Galerkin in modo che ogni sistema della successione approssimante ammetta un'unica soluzione, e in modo che ogni sistema approssimante di dimensione N abbia le prime N coordinate della misura M come misura invariante lungo le traiettorie. Nel secondo passo introduciamo condizioni iniziali random e otteniamo stime fondamentali per la norma delle soluzioni random in determinati spazi di Hilbert. L'invarianza della misura gioca un ruolo fondamentale nel calcolo di queste stime e i nostri risultati dipendono totalmente da questo. Nel terzo passo con un argomento di compattezza estraiamo un limite debole dalla successione delle soluzioni random per gli approssimanti N dimensionali, risultato basato sul teorema di Aubin-Lions e sul teorema di Prohorov. Nel quarto passo dimostriamo che il limite debole ottenuto dal terzo passo puo' essere esteso a un limite quasi certo usando il teorema di rappresentazione di Skorokhod, limite che dimostriamo risolvere formalmente l'equazione infinito dimensionale e quindi che risulta essere di fatto una soluzione al sistema per quasi ogni condizione iniziale. Nel quarto e ultimo capitolo della tesi lavoriamo su modelli ad albero. Dopo una breve introduzione ai modelli ad albero sulla turbolenza dimostriamo un teorema di esistenza di soluzioni per ogni condizione iniziale a energia finita per un modello ad albero molto generale, con una forzante sulla prima componente. Nella seconda parte del capitolo adattiamo le tecniche usate nel capitolo precedente per migliorare l'esistenza su un particolare caso di modello ad albero, passando da condizioni iniziali a energia finita a per quasi ogni condizione iniziale, dove come prima il per quasi ogni e' rispetto a una misura Gaussiana M invariante lungo le traiettorie del sistema.

Esistenza di soluzioni per modelli semplificati di turbolenza / Alessandro Montagnani , 2020 Feb 28. 32. ciclo, Anno Accademico 2018/2019.

Esistenza di soluzioni per modelli semplificati di turbolenza.

MONTAGNANI, ALESSANDRO
2020

Abstract

In the first two chapters of the thesis we show how can Shell Models be viewed as a simplified model of the Navier-Stokes equation. The Navier-Stokes equation, mimics the dynamic of a fluid and it represents one of the most challenging open problems in mathematic.In the NS model the fluid is thought as a continuum stream identified by a velocity field, a temperature field, a pressure field and a density field. From the Fourier series of the NSE we deduce a transfer of energy from large to small scale. Shell models are a simplified version of the Fourier series of NSE, with the aim of mimic the energy cascade in a infinite dimensional dynamic system where the equations are coupled, this means that the n-th component interacts only with n-1-th and n+1-th components. A shell model can be viewed as a division of the space into concentric spheres with expontially growing radius. In this environment the n-th shell will be the set of wave numbers contained in the n-th sphere and not in the n-1-th one. Compared to the NSE we can note that the dynamic of shell models is way simplier. Despite this, shell models are consistent enough with the turbulence theory to significant mimic the energy cascade of NSE. The aim of the third chapter is to prove an existence result on the mixed shell model extending the classic standard existence results from finite energy initial conditions to M-almost every initial conditions, where M is a Gaussian measure on the infinite dimensional space of initial conditions. The first step would be to consider a mixed model with suitable coefficients, to let to a certain Gaussian measure M to be invariant for the system. Then we find a Galerkin approximation of the infinite dimensional shell model, in a way that every finite dimensional system of the sequence admits a unique solution by Cauchy-Lipschitz theorem and such that every finite N-dimensional system has an invariant measure given by the projection of M on the first N coordinates. In the second step we introduce random initial conditions and we obtain fundamental extimates on the norm of random solutions on certain spaces. The invariance of the measure plays an important role in the computation of the norm extimates and our results on these extimates fully depend on it. In the third step we use a compactness argument to extract a weak limit of the sequence of random solution for the N-dimensional system, based on a combination of Aubin-Lions lemma and Prohorov Theorem. Last, in the fourth step, we prove that the weak limit obtained from the third step can be extended to an a.s. limit, thanks to Skorokhod representation theorem, that formally solves the integral equation of the infinite dimensional dynamic system. In the fourth and last chapter we work on tree models. First we briefly introduce turbolence tree models, then we work on a forced tree model, way more general than the Katz-Pavlovic one, where the force acts only on the first component. Differently from other shell models, this forced ones is not conservative, in the sense that the energy is not constant along the trajectories. Last we consider a mixed cascade tree model with coefficients taken to let to a Gaussian measure to be invariant and we apply all techniques used in the last chapter to get an existence result that improves the finite energy existence result that we have done for the more general model.
Existence of solutions for turbulence shell models.
28-feb-2020
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